約数・倍数・素数は全部つながっている！かけ算・わり算で見える「数の関係」

約数、倍数、公約数、公倍数、素数…
学校では、それぞれ別の言葉として習います。
でも、これらは本当に別々の話なのでしょうか？

実は、全部「数と数の関係」を違う方向から見ているだけです。

そのことは、たった1つのかけ算から見えてきます。

3 × 4 ＝ 12

とても簡単な式です。
でも、この中には約数も、倍数も、わり算も隠れています。さらに数を分けていくと、素数までつながってきます。

この記事では、別々に覚えてきた算数の言葉を、もう一度ひとつにつなげてみましょう。

たった1つの式から、いくつのことが分かる？

まずは、もう一度この式を見てみます。

3 × 4 ＝ 12

• 12は、3を4倍した数
• 12は、4を3倍した数
• 12 ÷ 3 ＝ 4
• 12 ÷ 4 ＝ 3

全部、同じ3・4・12の関係です。
つまり、かけ算とわり算も完全に別々の計算というわけではありません。

かけ算で作った数の関係を、わり算では逆向きに読むことができる。

ここが、約数と倍数をつなぐ最初のポイントです。

12から内側を見ると約数が見える

今度は、「12はどんな整数どうしのかけ算で作れるだろう？」と考えてみます。

• 1 × 12 ＝ 12
• 2 × 6 ＝ 12
• 3 × 4 ＝ 12

ここに登場した、1、2、3、4、6、12は、すべて12の約数です。

学校では「12を余りなく割ることができる整数」と習います。もちろん、それで正解です。
でも、少し見方を変えると、約数を探すことは、その数を整数のかけ算で作れるパターンを探すこととも考えられます。

3が12の約数なのは、3 × 4 ＝ 12 という整数どうしのかけ算を作れるからです。

ちなみに、小学校で約数を考えるときは、基本的に自然数の世界で考えます。0.5や0.25まで自由に入れてしまうのではなく、整数の中でどんな組み合わせが作れるかを見ているわけです。

約数の基本的な探し方や、公約数・最大公約数の求め方は、約数・公約数の記事で詳しく解説しています。

約数と倍数の関係は、見る方向で変わる

次は、見る方向を反対にしてみましょう。

3からスタートして、かける数を増やしていきます。

• 3 × 1 ＝ 3
• 3 × 2 ＝ 6
• 3 × 3 ＝ 9
• 3 × 4 ＝ 12
• 3 × 5 ＝ 15

3、6、9、12、15……は、3の倍数です。

ここでも、同じ式を見てみます。

3 × 4 ＝ 12

• 12から3を見る → 12は3で割り切れる → 3は12の約数
• 3から12を見る → 3を4倍すると12になる → 12は3の倍数

約数と倍数は、同じかけ算の関係を反対方向から見たものです。

この「約数と倍数は逆向きの関係」という考え方は、教科書会社の啓林館「算数用語集｜倍数・約数」でも説明されています。

約数と倍数の関係は、名前だけを見ると別々に感じますが、もともとは同じかけ算から生まれています。

わり算は、その関係を逆から読む

もう一度、3 × 4 ＝ 12を使います。

今度は12から3へ戻ると、12 ÷ 3 ＝ 4 になります。

3を4倍すると12になり、12を3で割ると4という関係が見つかります。
わり算は、同じ数ずつ分ける計算だけではありません。

「何個分ある？」「何倍になっている？」など、2つの数の関係を見るためにも使う計算です。

この考え方は小数のわり算でも登場します。詳しくは小数のわり算の記事で解説しています。

同じ式を違う方向から見てみよう

数を分け続けると素数が残る

約数を見ていると、もうひとつ面白いことが見えてきます。

例えば12は、12 ＝ 2 × 6 と分けられます。

さらに6も、6 ＝ 2 × 3 と分けられるので、12 ＝ 2 × 2 × 3 になります。

では、2や3はさらに同じように分けられるでしょうか。
2を自然数どうしのかけ算で作ろうとすると、1 × 2しかありません。3も1 × 3だけです。

1と自分自身しか約数をもたない、1より大きい自然数を素数といいます。

別の見方をすれば、素数は1と自分自身以外の自然数の積には分けられない数です。
つまり素数は、約数とはまったく別の話ではありません。数をかけ算に分けていった先に現れます。

素数そのものについて詳しく知りたい場合は、素数の正体を解説した記事で確認できます。

数が2つになると『共通』が見えてくる

今度は、12と18を比べてみます。

• 12の約数：1、2、3、4、6、12
• 18の約数：1、2、3、6、9、18

両方に登場するのは、1、2、3、6 です。
これが公約数です。

その中で最も大きい6が最大公約数になります。

約数が「1つの数を作れるパターン」なら、公約数は複数の数に共通して使えるパターンと見ることができます。

外側へ伸ばすと公倍数が見える

次は、12と18から外側へ進んでみます。

• 12の倍数：12、24、36、48、60……
• 18の倍数：18、36、54、72……

最初に同じ数になるのは36です。
36は12の倍数でもあり、18の倍数でもあります。つまり公倍数です。

そして、最も小さい公倍数なので最小公倍数になります。

内側を見る → 約数 → 共通すれば公約数

外側を見る → 倍数 → 共通すれば公倍数

最小公倍数の求め方や文章題での使い方は、最小公倍数の記事で詳しく扱っています。

だから約分では約数、通分では倍数を使う

ここまでつながると、分数で約数や倍数が登場する理由も見えてきます。

約分では、分子と分母を同じ数で割ります。
必要なのは、分子と分母の両方を割ることができる数。つまり公約数です。

一方、通分では、違う分母を同じ数にそろえます。
必要なのは、両方の分母の倍数になる数。つまり公倍数です。

約分 → 共通して割れる数 → 公約数

通分 → 共通して到達できる数 → 公倍数

約分では約数、通分では倍数と丸暗記するより、何をしたいのかを見ると自然につながります。

通分について詳しく確認したい場合は、通分の記事へ進んでください。

全部のスタートは「A × B ＝ C」だった

最後に、ここまでの関係をひとつに戻してみましょう。

A × B ＝ C

• CからAを見る → AはCの約数
• AからCを見る → CはAの倍数
• C ÷ Aを見る → AとCの間にある倍率Bが分かる
• Cをかけ算に分け続ける → 最後に素数が現れる
• 2つの数の約数を比べる → 共通するものが公約数
• 2つの数の倍数を比べる → 共通するものが公倍数

学校では、約数、倍数、素数、公約数、公倍数を別々の言葉として習います。

でも、学んだあとでもう一度並べてみると、すべて 数と数がどうつながっているか を違う方向から見ていることが分かります。

別々に見えていた算数がつながると、覚えることは少なくなります。

「これは何の公式だったかな？」と考える前に、「今は数をどちら側から見ている？」と考えてみてください。
約数や倍数は、バラバラの暗記ではなく、1本のかけ算から始まった同じ数の世界です。

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2026.04.30