「旅人算・ニュートン算・流水算…名前は聞いたことあるけど、どう解けばいいかわからない」と悩んでいる受験生は多いです。特殊算Part2で取り上げるこの3つは、速さ・増減・流れという日常に密着した概念を扱う問題です。コツをつかめば得点源になる単元です。
この記事では旅人算・ニュートン算・流水算それぞれの考え方と解き方を、具体例を使って丁寧に解説します。
特殊算④：旅人算
旅人算とは、2人が移動するときの「出会い」や「追いつき」に関する問題です。「速さの和」と「速さの差」を使い分けることがポイントです。
【例題①・出会い算】AとBが8km離れた地点から同時に向かい合って歩きます。Aの速さは時速3km、Bの速さは時速5kmです。2人が出会うのは何時間後ですか？
- 2人の速さの和を求める：3 + 5 = 8km/時
- 出会うまでの時間：8 ÷ 8 = 1時間後
【例題②・追いつき算】AがBより1時間早く出発しました。Aの速さは時速4km、Bの速さは時速6kmです。BがAに追いつくのは、Bが出発してから何時間後ですか？
- Bが出発した時点でのAとBの差：4 × 1 = 4km
- 2人の速さの差：6 − 4 = 2km/時
- 追いつくまでの時間：4 ÷ 2 = 2時間後
- 向かい合う（出会い）：距離 ÷ 速さの和 = 時間
- 同じ方向（追いつき）：距離の差 ÷ 速さの差 = 時間
特殊算⑤：ニュートン算
ニュートン算とは、「一定量が増え続けながら減っていく」状況を扱う問題です。牧場の草と牛の関係が有名ですが、窓口の行列や水槽など様々な形で出題されます。
【例題】牧場に草が生えており、牛12頭では30日で食べ尽くし、牛15頭では20日で食べ尽くします。牛20頭では何日で食べ尽くしますか？
- 最初の草の量と1日の草の増加量を求める
12頭×30日 = 360（全消費量①）
15頭×20日 = 300（全消費量②） - 1日の増加量：（360 − 300）÷（30 − 20）= 6
- 最初の草の量：360 − 6 × 30 = 180
- 20頭の場合：180 ÷（20 − 6）= 約12.9日（約13日）
ニュートン算の考え方は「最初にある量」と「1日あたりの増加量」を別々に求めることです。2つの条件から連立して解くのが基本手順です。
特殊算⑥：流水算
流水算とは、川の流れがある場合の船の速さを扱う問題です。川の流れが「味方になる」「敵になる」という2パターンを理解することがカギです。
【例題】静水での船の速さが時速10km、川の流れの速さが時速2kmです。川を上るときと下るときの速さはそれぞれ何km/時ですか？
- 川を下る（流れが味方）：船の速さ + 流れの速さ = 10 + 2 = 時速12km
- 川を上る（流れが敵）：船の速さ − 流れの速さ = 10 − 2 = 時速8km
逆に「上りと下りの速さから静水の速さと流れの速さを求める」問題もよく出ます。
- 静水の速さ：（下りの速さ + 上りの速さ）÷ 2
- 流れの速さ：（下りの速さ − 上りの速さ）÷ 2
3つの特殊算を見分けるポイント
問題文のキーワードで素早く種類を判断しましょう。
- 旅人算：「向かい合って」「追いつく」「出会う」→ 速さの和・差を使う
- ニュートン算：「草が増える」「行列が増える」「〇頭では〇日」→ 最初の量と増加量を求める
- 流水算：「川を上る・下る」「流れの速さ」→ 静水の速さ±流れの速さ
練習問題に挑戦しよう
- 【旅人算】AとBが12km離れた地点から向かい合って歩きます。Aは時速4km、Bは時速2kmです。何時間後に出会いますか？
- 【ニュートン算】窓口に60人並んでいて、毎分3人ずつ増えます。窓口1つでは毎分8人処理できます。何分で行列がなくなりますか？
- 【流水算】川を下るときの速さが時速15km、上るときの速さが時速9kmです。静水での速さと川の流れの速さはそれぞれ何km/時ですか？
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まとめ
- 旅人算：出会いは速さの和、追いつきは速さの差で時間を求める
- ニュートン算：最初の量と1日の増加量を2つの条件から別々に求める
- 流水算：下り＝静水+流れ、上り＝静水−流れの関係を覚える
- 問題文のキーワードで特殊算の種類を素早く見分ける習慣をつける
- 3つとも公式の意味を理解した上で繰り返し練習することが合格への近道
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